我們都知道，愛因斯坦的廣義相對論是現(xiàn)代物理學(xué)的基石之一，它揭示了時空和物質(zhì)之間的深刻聯(lián)系。廣義相對論告訴我們，時空并不是一成不變的，而是一個動態(tài)的實體，它會隨著物質(zhì)的分布和運動而發(fā)生變化。
在許多科普文章當(dāng)中，彎曲的時空和扭曲的時空是混用的。但是，在廣義相對論中，時空的彎曲和扭曲并不是一回事。那么，彎曲時空和扭曲時空有什么區(qū)別呢？
什么是時空
首先，我們要明白什么是時空。簡單地說，時空就是我們生活的四維世界，它包括三個空間維度和一個時間維度。我們可以用一個坐標(biāo)系來描述時空中的任何事件或物體，例如（x,y,z,t），其中x,y,z表示空間位置，t表示時間。
時空不是一個抽象的數(shù)學(xué)概念，而是一個真實的物理實體。它可以被測量和觀察。例如，我們可以用光來探測時空的性質(zhì)。光在真空中沿著直線傳播，這條直線就是時空中的最短路徑，也叫作測地線。這樣，我們就可以通過觀察光線的偏折來判斷時空是否有彎曲或扭曲。
彎曲的時空
彎曲可以描述時空中不同方向之間存在角度偏差，它由黎曼曲率張量來表達(dá)。黎曼曲率張量是一個四階反對稱張量場，它定義為：R(X,Y,Z,W)=g(R(X,Y)Z,W)。其中 X,Y,Z,W 是任意的向量場， g 是黎曼流形上的度量， R(X,Y)Z 是一個向量場，它表示沿著 X 和 Y 方向的平行移動后， Z 向量的變化量。
黎曼曲率張量衡量了協(xié)變導(dǎo)數(shù)的反交換性，即平行移動的順序?qū)Y(jié)果的影響。如果黎曼曲率張量為零，那么協(xié)變導(dǎo)數(shù)就是對易的，即平行移動的順序無關(guān)緊要。在這種情況下，流形就是平直的。
現(xiàn)在，我們就以一種更容易懂的方式，來描述曲率的幾何意義。當(dāng)時空存在曲率時，一個矢量沿著閉合曲線平移一周后，它并不與原矢量重合，而是相差一個角度。必須再附加一個轉(zhuǎn)動，它倆才能重合，而這個附加的轉(zhuǎn)動，正是空間曲率（彎曲）產(chǎn)生的幾何效應(yīng)。
在物理上，黎曼曲率張量可以描述時空中存在的引力場或物質(zhì)能量分布，它們會使得時空產(chǎn)生彎曲。例如，在廣義相對論中，引力場方程是一個關(guān)于黎曼曲率張量和能動張量的方程，它反映了物質(zhì)和能量對時空彎曲的影響。在這種理論中，時空是彎曲的。
扭曲的時空
扭曲可以描述時空中不同點之間存在平移偏差或旋轉(zhuǎn)偏差，它由撓率張量來表達(dá)。撓率張量是一個三階反對稱張量場，它定義為：T(X,Y)=∇XY−∇YX−[X,Y]。其中 X,Y 是任意的向量場， ∇是任意的仿射聯(lián)絡(luò)， [X,Y] 是向量場的Lie括號。
撓率張量衡量了聯(lián)絡(luò)的非對稱性或非度量性，即協(xié)變導(dǎo)數(shù)與向量場的交換不一致。如果撓率張量為零，那么聯(lián)絡(luò)就是對稱的或度量的，即協(xié)變導(dǎo)數(shù)與向量場的交換一致。在這種情況下，聯(lián)絡(luò)就是Levi-Civita聯(lián)絡(luò)，它是黎曼流形上唯一確定的度量聯(lián)絡(luò)。
同樣，我們用易懂的語言描述撓率的幾何意義�？拯c一點O有兩個矢量分別為OQ和OQ'。OQ沿著OQ'的方向平移到Q’點，得到矢量O'P'；OQ'沿著OQ的方向平移到Q點，得到矢量OP。如果空間不存在撓率，那么P點和P'點重合；如果空間存在撓率，則兩點不重合，必須附加一個移動才會重合。而這個附加的移動，就是撓率（扭曲）的幾何效應(yīng)。
在物理上，撓率張量可以描述時空中存在的自旋-自旋相互作用或自旋-軌道相互作用，它們會使得時空產(chǎn)生扭曲。例如，在愛因斯坦-卡爾坦理論中，引力場方程包含了撓率張量作為一個源項，它反映了物質(zhì)的自旋密度。在這種理論中，時空不僅有彎曲，還有扭曲。
